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翻訳と辞書　辞書検索 [ 開発暫定版 ] スポンサード リンク カラテオドリの定理 (凸包) ： ウィキペディア日本語版 カラテオドリの定理 (凸包)[からておどりのていり] 数学のの分野におけるカラテオドリの定理（カラテオドリのていり、）とは、R''d'' 内の点 ''x'' がある集合 ''P'' の凸包に属するなら、''d'' + 1 個あるいはそれ以下の個数の点からなる ''P'' の部分集合 ''P''′ で、''x'' がその凸包に属するようなものが存在する。また同値であるが、$r\; \backslash leq\; d$ に対し、''x'' は ''P'' 内の頂点の ''r''-単体に属する。1911年に、''P'' がコンパクトである場合の証明を与えたコンスタンティン・カラテオドリの名にちなむ。1914年には、がその定理を Rd 内の任意の集合 ''P'' に対して拡張した。 例えば、R2 の部分集合である ''P'' = を考える。この集合の凸包は正方形である。今、''P'' の凸包に属する点 ''x'' = (1/4, 1/4) を考える。このとき、凸包が三角形であるような集合 = ''P''′ を構成すると、''x'' はその中に属し、|''P''′| = 3 であるために定理が成立する一例となる。2次元の場合は、この例のように ''P'' 内の任意の点を囲む三角形を ''P'' の点から構成することが出来るので、カラテオドリの定理を図として可視化する試みは有用となる。 == 証明 == ''x'' を ''P'' の凸包に属する点とする。このとき ''x'' は ''P'' 内の有限個の点の凸結合である。すなわち :$\backslash mathbf=\backslash sum\_^k\; \backslash lambda\_j\; \backslash mathbf\_j$ と書ける。但し ''x''j はすべて ''P'' に属し、''λ''j はすべて非負であり、$\backslash sum\_^k\backslash lambda\_j=1$ である。 ''k'' > ''d'' + 1 を仮定する（そうでない場合は証明する必要がない）。このとき、点 ''x''2 − ''x''1, ..., ''x''''k'' − ''x''1 は線型従属であるので、ゼロでないものがある実スカラー ''μ''2, ..., ''μ''''k'' に対して :$\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j\; (\backslash mathbf\_j-\backslash mathbf\_1)=\backslash mathbf$ が成り立つ。''μ''1 が :$\backslash mu\_1:=-\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j$ のように定義されるなら、 :$\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j\; \backslash mathbf\_j=\backslash mathbf$ :$\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j=0$ となり、この μ''j'' のすべてがゼロになることはない。したがって、少なくとも一つ ''μ''j > 0 となるものがある、このとき、任意の実数 ''α'' に対して :$\backslash mathbf\; =\; \backslash sum\_^k\; \backslash lambda\_j\; \backslash mathbf\_j-\backslash alpha\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j\; \backslash mathbf\_j\; =\; \backslash sum\_^k\; (\backslash lambda\_j-\backslash alpha\backslash mu\_j)\; \backslash mathbf\_j$ が成り立つ。特に、等号は ''α'' が次のように定義されたときに成り立つ。 :$\backslash alpha:=\backslash min\_\; \backslash left\backslash =\backslash tfrac.$ ここで ''α''>0 であり、1 と ''k'' の間のすべての ''j'' に対して :$\backslash lambda\_j-\backslash alpha\backslash mu\_j\; \backslash geq\; 0$ であることに注意されたい。特に ''α'' の定義から ''λ''i − ''αμ''''i'' = 0 である。したがって :$\backslash mathbf\; =\; \backslash sum\_^k\; (\backslash lambda\_j-\backslash alpha\backslash mu\_j)\; \backslash mathbf\_j$ が成り立つ。但しすべての $\backslash lambda\_j\; -\; \backslash alpha\; \backslash mu\_j$ は非負で、それらの和は 1 で、$\backslash lambda\_i-\backslash alpha\backslash mu\_i=0$ である。言い換えると、''x'' は高々 ''k''-1 個の ''P'' の点の凸結合として表現される。この過程を ''x'' が高々 ''d'' + 1 個の ''P'' の点の凸結合として表現されるまで繰り返せばよい。 またこの他の証明ではヘリーの定理が用いられる。'x'' を ''P'' の凸包に属する点とする。このとき ''x'' は ''P'' 内の有限個の点の凸結合である。すなわち :$\backslash mathbf=\backslash sum\_^k\; \backslash lambda\_j\; \backslash mathbf\_j$ と書ける。但し ''x''j はすべて ''P'' に属し、''λ''j はすべて非負であり、$\backslash sum\_^k\backslash lambda\_j=1$ である。 ''k'' > ''d'' + 1 を仮定する（そうでない場合は証明する必要がない）。このとき、点 ''x''2 − ''x''1, ..., ''x''''k'' − ''x''1 は線型従属であるので、ゼロでないものがある実スカラー ''μ''2, ..., ''μ''''k'' に対して :$\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j\; (\backslash mathbf\_j-\backslash mathbf\_1)=\backslash mathbf$ が成り立つ。''μ''1 が :$\backslash mu\_1:=-\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j$ のように定義されるなら、 :$\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j\; \backslash mathbf\_j=\backslash mathbf$ :$\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j=0$ となり、この μ''j'' のすべてがゼロになることはない。したがって、少なくとも一つ ''μ''j > 0 となるものがある、このとき、任意の実数 ''α'' に対して :$\backslash mathbf\; =\; \backslash sum\_^k\; \backslash lambda\_j\; \backslash mathbf\_j-\backslash alpha\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j\; \backslash mathbf\_j\; =\; \backslash sum\_^k\; (\backslash lambda\_j-\backslash alpha\backslash mu\_j)\; \backslash mathbf\_j$ が成り立つ。特に、等号は ''α'' が次のように定義されたときに成り立つ。 :$\backslash alpha:=\backslash min\_\; \backslash left\backslash =\backslash tfrac.$ ここで ''α''>0 であり、1 と ''k'' の間のすべての ''j'' に対して :$\backslash lambda\_j-\backslash alpha\backslash mu\_j\; \backslash geq\; 0$ であることに注意されたい。特に ''α'' の定義から ''λ''i − ''αμ''''i'' = 0 である。したがって :$\backslash mathbf\; =\; \backslash sum\_^k\; (\backslash lambda\_j-\backslash alpha\backslash mu\_j)\; \backslash mathbf\_j$ が成り立つ。但しすべての $\backslash lambda\_j\; -\; \backslash alpha\; \backslash mu\_j$ は非負で、それらの和は 1 で、$\backslash lambda\_i-\backslash alpha\backslash mu\_i=0$ である。言い換えると、''x'' は高々 ''k''-1 個の ''P'' の点の凸結合として表現される。この過程を ''x'' が高々 ''d'' + 1 個の ''P'' の点の凸結合として表現されるまで繰り返せばよい。 またこの他の証明ではヘリーの定理が用いられる。' を ''P'' の凸包に属する点とする。このとき ''x'' は ''P'' 内の有限個の点の凸結合である。すなわち :$\backslash mathbf=\backslash sum\_^k\; \backslash lambda\_j\; \backslash mathbf\_j$ と書ける。但し ''x''j はすべて ''P'' に属し、''λ''j はすべて非負であり、$\backslash sum\_^k\backslash lambda\_j=1$ である。 ''k'' > ''d'' + 1 を仮定する（そうでない場合は証明する必要がない）。このとき、点 ''x''2 − ''x''1, ..., ''x''''k'' − ''x''1 は線型従属であるので、ゼロでないものがある実スカラー ''μ''2, ..., ''μ''''k'' に対して :$\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j\; (\backslash mathbf\_j-\backslash mathbf\_1)=\backslash mathbf$ が成り立つ。''μ''1 が :$\backslash mu\_1:=-\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j$ のように定義されるなら、 :$\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j\; \backslash mathbf\_j=\backslash mathbf$ :$\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j=0$ となり、この μ''j'' のすべてがゼロになることはない。したがって、少なくとも一つ ''μ''j > 0 となるものがある、このとき、任意の実数 ''α'' に対して :$\backslash mathbf\; =\; \backslash sum\_^k\; \backslash lambda\_j\; \backslash mathbf\_j-\backslash alpha\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j\; \backslash mathbf\_j\; =\; \backslash sum\_^k\; (\backslash lambda\_j-\backslash alpha\backslash mu\_j)\; \backslash mathbf\_j$ が成り立つ。特に、等号は ''α'' が次のように定義されたときに成り立つ。 :$\backslash alpha:=\backslash min\_\; \backslash left\backslash =\backslash tfrac.$ ここで ''α''>0 であり、1 と ''k'' の間のすべての ''j'' に対して :$\backslash lambda\_j-\backslash alpha\backslash mu\_j\; \backslash geq\; 0$ であることに注意されたい。特に ''α'' の定義から ''λ''i − ''αμ''''i'' = 0 である。したがって :$\backslash mathbf\; =\; \backslash sum\_^k\; (\backslash lambda\_j-\backslash alpha\backslash mu\_j)\; \backslash mathbf\_j$ が成り立つ。但しすべての $\backslash lambda\_j\; -\; \backslash alpha\; \backslash mu\_j$ は非負で、それらの和は 1 で、$\backslash lambda\_i-\backslash alpha\backslash mu\_i=0$ である。言い換えると、''x'' は高々 ''k''-1 個の ''P'' の点の凸結合として表現される。この過程を ''x'' が高々 ''d'' + 1 個の ''P'' の点の凸結合として表現されるまで繰り返せばよい。 またこの他の証明ではヘリーの定理が用いられる。'x'' は ''P'' 内の有限個の点の凸結合である。すなわち :$\backslash mathbf=\backslash sum\_^k\; \backslash lambda\_j\; \backslash mathbf\_j$ と書ける。但し ''x''j はすべて ''P'' に属し、''λ''j はすべて非負であり、$\backslash sum\_^k\backslash lambda\_j=1$ である。 ''k'' > ''d'' + 1 を仮定する（そうでない場合は証明する必要がない）。このとき、点 ''x''2 − ''x''1, ..., ''x''''k'' − ''x''1 は線型従属であるので、ゼロでないものがある実スカラー ''μ''2, ..., ''μ''''k'' に対して :$\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j\; (\backslash mathbf\_j-\backslash mathbf\_1)=\backslash mathbf$ が成り立つ。''μ''1 が :$\backslash mu\_1:=-\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j$ のように定義されるなら、 :$\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j\; \backslash mathbf\_j=\backslash mathbf$ :$\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j=0$ となり、この μ''j'' のすべてがゼロになることはない。したがって、少なくとも一つ ''μ''j > 0 となるものがある、このとき、任意の実数 ''α'' に対して :$\backslash mathbf\; =\; \backslash sum\_^k\; \backslash lambda\_j\; \backslash mathbf\_j-\backslash alpha\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j\; \backslash mathbf\_j\; =\; \backslash sum\_^k\; (\backslash lambda\_j-\backslash alpha\backslash mu\_j)\; \backslash mathbf\_j$ が成り立つ。特に、等号は ''α'' が次のように定義されたときに成り立つ。 :$\backslash alpha:=\backslash min\_\; \backslash left\backslash =\backslash tfrac.$ ここで ''α''>0 であり、1 と ''k'' の間のすべての ''j'' に対して :$\backslash lambda\_j-\backslash alpha\backslash mu\_j\; \backslash geq\; 0$ であることに注意されたい。特に ''α'' の定義から ''λ''i − ''αμ''''i'' = 0 である。したがって :$\backslash mathbf\; =\; \backslash sum\_^k\; (\backslash lambda\_j-\backslash alpha\backslash mu\_j)\; \backslash mathbf\_j$ が成り立つ。但しすべての $\backslash lambda\_j\; -\; \backslash alpha\; \backslash mu\_j$ は非負で、それらの和は 1 で、$\backslash lambda\_i-\backslash alpha\backslash mu\_i=0$ である。言い換えると、''x'' は高々 ''k''-1 個の ''P'' の点の凸結合として表現される。この過程を ''x'' が高々 ''d'' + 1 個の ''P'' の点の凸結合として表現されるまで繰り返せばよい。 またこの他の証明ではヘリーの定理が用いられる。' は ''P'' 内の有限個の点の凸結合である。すなわち :$\backslash mathbf=\backslash sum\_^k\; \backslash lambda\_j\; \backslash mathbf\_j$ と書ける。但し ''x''j はすべて ''P'' に属し、''λ''j はすべて非負であり、$\backslash sum\_^k\backslash lambda\_j=1$ である。 ''k'' > ''d'' + 1 を仮定する（そうでない場合は証明する必要がない）。このとき、点 ''x''2 − ''x''1, ..., ''x''''k'' − ''x''1 は線型従属であるので、ゼロでないものがある実スカラー ''μ''2, ..., ''μ''''k'' に対して :$\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j\; (\backslash mathbf\_j-\backslash mathbf\_1)=\backslash mathbf$ が成り立つ。''μ''1 が :$\backslash mu\_1:=-\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j$ のように定義されるなら、 :$\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j\; \backslash mathbf\_j=\backslash mathbf$ :$\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j=0$ となり、この μ''j'' のすべてがゼロになることはない。したがって、少なくとも一つ ''μ''j > 0 となるものがある、このとき、任意の実数 ''α'' に対して :$\backslash mathbf\; =\; \backslash sum\_^k\; \backslash lambda\_j\; \backslash mathbf\_j-\backslash alpha\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j\; \backslash mathbf\_j\; =\; \backslash sum\_^k\; (\backslash lambda\_j-\backslash alpha\backslash mu\_j)\; \backslash mathbf\_j$ が成り立つ。特に、等号は ''α'' が次のように定義されたときに成り立つ。 :$\backslash alpha:=\backslash min\_\; \backslash left\backslash =\backslash tfrac.$ ここで ''α''>0 であり、1 と ''k'' の間のすべての ''j'' に対して :$\backslash lambda\_j-\backslash alpha\backslash mu\_j\; \backslash geq\; 0$ であることに注意されたい。特に ''α'' の定義から ''λ''i − ''αμ''''i'' = 0 である。したがって :$\backslash mathbf\; =\; \backslash sum\_^k\; (\backslash lambda\_j-\backslash alpha\backslash mu\_j)\; \backslash mathbf\_j$ が成り立つ。但しすべての $\backslash lambda\_j\; -\; \backslash alpha\; \backslash mu\_j$ は非負で、それらの和は 1 で、$\backslash lambda\_i-\backslash alpha\backslash mu\_i=0$ である。言い換えると、''x'' は高々 ''k''-1 個の ''P'' の点の凸結合として表現される。この過程を ''x'' が高々 ''d'' + 1 個の ''P'' の点の凸結合として表現されるまで繰り返せばよい。 またこの他の証明ではヘリーの定理が用いられる。'x''j はすべて ''P'' に属し、''λ''j はすべて非負であり、$\backslash sum\_^k\backslash lambda\_j=1$ である。 ''k'' > ''d'' + 1 を仮定する（そうでない場合は証明する必要がない）。このとき、点 ''x''2 − ''x''1, ..., ''x''''k'' − ''x''1 は線型従属であるので、ゼロでないものがある実スカラー ''μ''2, ..., ''μ''''k'' に対して :$\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j\; (\backslash mathbf\_j-\backslash mathbf\_1)=\backslash mathbf$ が成り立つ。''μ''1 が :$\backslash mu\_1:=-\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j$ のように定義されるなら、 :$\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j\; \backslash mathbf\_j=\backslash mathbf$ :$\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j=0$ となり、この μ''j'' のすべてがゼロになることはない。したがって、少なくとも一つ ''μ''j > 0 となるものがある、このとき、任意の実数 ''α'' に対して :$\backslash mathbf\; =\; \backslash sum\_^k\; \backslash lambda\_j\; \backslash mathbf\_j-\backslash alpha\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j\; \backslash mathbf\_j\; =\; \backslash sum\_^k\; (\backslash lambda\_j-\backslash alpha\backslash mu\_j)\; \backslash mathbf\_j$ が成り立つ。特に、等号は ''α'' が次のように定義されたときに成り立つ。 :$\backslash alpha:=\backslash min\_\; \backslash left\backslash =\backslash tfrac.$ ここで ''α''>0 であり、1 と ''k'' の間のすべての ''j'' に対して :$\backslash lambda\_j-\backslash alpha\backslash mu\_j\; \backslash geq\; 0$ であることに注意されたい。特に ''α'' の定義から ''λ''i − ''αμ''''i'' = 0 である。したがって :$\backslash mathbf\; =\; \backslash sum\_^k\; (\backslash lambda\_j-\backslash alpha\backslash mu\_j)\; \backslash mathbf\_j$ が成り立つ。但しすべての $\backslash lambda\_j\; -\; \backslash alpha\; \backslash mu\_j$ は非負で、それらの和は 1 で、$\backslash lambda\_i-\backslash alpha\backslash mu\_i=0$ である。言い換えると、''x'' は高々 ''k''-1 個の ''P'' の点の凸結合として表現される。この過程を ''x'' が高々 ''d'' + 1 個の ''P'' の点の凸結合として表現されるまで繰り返せばよい。 またこの他の証明ではヘリーの定理が用いられる。'j はすべて ''P'' に属し、''λ''j はすべて非負であり、$\backslash sum\_^k\backslash lambda\_j=1$ である。 ''k'' > ''d'' + 1 を仮定する（そうでない場合は証明する必要がない）。このとき、点 ''x''2 − ''x''1, ..., ''x''''k'' − ''x''1 は線型従属であるので、ゼロでないものがある実スカラー ''μ''2, ..., ''μ''''k'' に対して :$\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j\; (\backslash mathbf\_j-\backslash mathbf\_1)=\backslash mathbf$ が成り立つ。''μ''1 が :$\backslash mu\_1:=-\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j$ のように定義されるなら、 :$\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j\; \backslash mathbf\_j=\backslash mathbf$ :$\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j=0$ となり、この μ''j'' のすべてがゼロになることはない。したがって、少なくとも一つ ''μ''j > 0 となるものがある、このとき、任意の実数 ''α'' に対して :$\backslash mathbf\; =\; \backslash sum\_^k\; \backslash lambda\_j\; \backslash mathbf\_j-\backslash alpha\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j\; \backslash mathbf\_j\; =\; \backslash sum\_^k\; (\backslash lambda\_j-\backslash alpha\backslash mu\_j)\; \backslash mathbf\_j$ が成り立つ。特に、等号は ''α'' が次のように定義されたときに成り立つ。 :$\backslash alpha:=\backslash min\_\; \backslash left\backslash =\backslash tfrac.$ ここで ''α''>0 であり、1 と ''k'' の間のすべての ''j'' に対して :$\backslash lambda\_j-\backslash alpha\backslash mu\_j\; \backslash geq\; 0$ であることに注意されたい。特に ''α'' の定義から ''λ''i − ''αμ''''i'' = 0 である。したがって :$\backslash mathbf\; =\; \backslash sum\_^k\; (\backslash lambda\_j-\backslash alpha\backslash mu\_j)\; \backslash mathbf\_j$ が成り立つ。但しすべての $\backslash lambda\_j\; -\; \backslash alpha\; \backslash mu\_j$ は非負で、それらの和は 1 で、$\backslash lambda\_i-\backslash alpha\backslash mu\_i=0$ である。言い換えると、''x'' は高々 ''k''-1 個の ''P'' の点の凸結合として表現される。この過程を ''x'' が高々 ''d'' + 1 個の ''P'' の点の凸結合として表現されるまで繰り返せばよい。 またこの他の証明ではヘリーの定理が用いられる。'x''2 − ''x''1, ..., ''x''''k'' − ''x''1 は線型従属であるので、ゼロでないものがある実スカラー ''μ''2, ..., ''μ''''k'' に対して :$\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j\; (\backslash mathbf\_j-\backslash mathbf\_1)=\backslash mathbf$ が成り立つ。''μ''1 が :$\backslash mu\_1:=-\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j$ のように定義されるなら、 :$\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j\; \backslash mathbf\_j=\backslash mathbf$ :$\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j=0$ となり、この μ''j'' のすべてがゼロになることはない。したがって、少なくとも一つ ''μ''j > 0 となるものがある、このとき、任意の実数 ''α'' に対して :$\backslash mathbf\; =\; \backslash sum\_^k\; \backslash lambda\_j\; \backslash mathbf\_j-\backslash alpha\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j\; \backslash mathbf\_j\; =\; \backslash sum\_^k\; (\backslash lambda\_j-\backslash alpha\backslash mu\_j)\; \backslash mathbf\_j$ が成り立つ。特に、等号は ''α'' が次のように定義されたときに成り立つ。 :$\backslash alpha:=\backslash min\_\; \backslash left\backslash =\backslash tfrac.$ ここで ''α''>0 であり、1 と ''k'' の間のすべての ''j'' に対して :$\backslash lambda\_j-\backslash alpha\backslash mu\_j\; \backslash geq\; 0$ であることに注意されたい。特に ''α'' の定義から ''λ''i − ''αμ''''i'' = 0 である。したがって :$\backslash mathbf\; =\; \backslash sum\_^k\; (\backslash lambda\_j-\backslash alpha\backslash mu\_j)\; \backslash mathbf\_j$ が成り立つ。但しすべての $\backslash lambda\_j\; -\; \backslash alpha\; \backslash mu\_j$ は非負で、それらの和は 1 で、$\backslash lambda\_i-\backslash alpha\backslash mu\_i=0$ である。言い換えると、''x'' は高々 ''k''-1 個の ''P'' の点の凸結合として表現される。この過程を ''x'' が高々 ''d'' + 1 個の ''P'' の点の凸結合として表現されるまで繰り返せばよい。 またこの他の証明ではヘリーの定理が用いられる。'2 − ''x''1, ..., ''x''''k'' − ''x''1 は線型従属であるので、ゼロでないものがある実スカラー ''μ''2, ..., ''μ''''k'' に対して :$\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j\; (\backslash mathbf\_j-\backslash mathbf\_1)=\backslash mathbf$ が成り立つ。''μ''1 が :$\backslash mu\_1:=-\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j$ のように定義されるなら、 :$\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j\; \backslash mathbf\_j=\backslash mathbf$ :$\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j=0$ となり、この μ''j'' のすべてがゼロになることはない。したがって、少なくとも一つ ''μ''j > 0 となるものがある、このとき、任意の実数 ''α'' に対して :$\backslash mathbf\; =\; \backslash sum\_^k\; \backslash lambda\_j\; \backslash mathbf\_j-\backslash alpha\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j\; \backslash mathbf\_j\; =\; \backslash sum\_^k\; (\backslash lambda\_j-\backslash alpha\backslash mu\_j)\; \backslash mathbf\_j$ が成り立つ。特に、等号は ''α'' が次のように定義されたときに成り立つ。 :$\backslash alpha:=\backslash min\_\; \backslash left\backslash =\backslash tfrac.$ ここで ''α''>0 であり、1 と ''k'' の間のすべての ''j'' に対して :$\backslash lambda\_j-\backslash alpha\backslash mu\_j\; \backslash geq\; 0$ であることに注意されたい。特に ''α'' の定義から ''λ''i − ''αμ''''i'' = 0 である。したがって :$\backslash mathbf\; =\; \backslash sum\_^k\; (\backslash lambda\_j-\backslash alpha\backslash mu\_j)\; \backslash mathbf\_j$ が成り立つ。但しすべての $\backslash lambda\_j\; -\; \backslash alpha\; \backslash mu\_j$ は非負で、それらの和は 1 で、$\backslash lambda\_i-\backslash alpha\backslash mu\_i=0$ である。言い換えると、''x'' は高々 ''k''-1 個の ''P'' の点の凸結合として表現される。この過程を ''x'' が高々 ''d'' + 1 個の ''P'' の点の凸結合として表現されるまで繰り返せばよい。 またこの他の証明ではヘリーの定理が用いられる。'x''1, ..., ''x''''k'' − ''x''1 は線型従属であるので、ゼロでないものがある実スカラー ''μ''2, ..., ''μ''''k'' に対して :$\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j\; (\backslash mathbf\_j-\backslash mathbf\_1)=\backslash mathbf$ が成り立つ。''μ''1 が :$\backslash mu\_1:=-\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j$ のように定義されるなら、 :$\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j\; \backslash mathbf\_j=\backslash mathbf$ :$\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j=0$ となり、この μ''j'' のすべてがゼロになることはない。したがって、少なくとも一つ ''μ''j > 0 となるものがある、このとき、任意の実数 ''α'' に対して :$\backslash mathbf\; =\; \backslash sum\_^k\; \backslash lambda\_j\; \backslash mathbf\_j-\backslash alpha\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j\; \backslash mathbf\_j\; =\; \backslash sum\_^k\; (\backslash lambda\_j-\backslash alpha\backslash mu\_j)\; \backslash mathbf\_j$ が成り立つ。特に、等号は ''α'' が次のように定義されたときに成り立つ。 :$\backslash alpha:=\backslash min\_\; \backslash left\backslash =\backslash tfrac.$ ここで ''α''>0 であり、1 と ''k'' の間のすべての ''j'' に対して :$\backslash lambda\_j-\backslash alpha\backslash mu\_j\; \backslash geq\; 0$ であることに注意されたい。特に ''α'' の定義から ''λ''i − ''αμ''''i'' = 0 である。したがって :$\backslash mathbf\; =\; \backslash sum\_^k\; (\backslash lambda\_j-\backslash alpha\backslash mu\_j)\; \backslash mathbf\_j$ が成り立つ。但しすべての $\backslash lambda\_j\; -\; \backslash alpha\; \backslash mu\_j$ は非負で、それらの和は 1 で、$\backslash lambda\_i-\backslash alpha\backslash mu\_i=0$ である。言い換えると、''x'' は高々 ''k''-1 個の ''P'' の点の凸結合として表現される。この過程を ''x'' が高々 ''d'' + 1 個の ''P'' の点の凸結合として表現されるまで繰り返せばよい。 またこの他の証明ではヘリーの定理が用いられる。'1, ..., ''x''''k'' − ''x''1 は線型従属であるので、ゼロでないものがある実スカラー ''μ''2, ..., ''μ''''k'' に対して :$\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j\; (\backslash mathbf\_j-\backslash mathbf\_1)=\backslash mathbf$ が成り立つ。''μ''1 が :$\backslash mu\_1:=-\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j$ のように定義されるなら、 :$\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j\; \backslash mathbf\_j=\backslash mathbf$ :$\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j=0$ となり、この μ''j'' のすべてがゼロになることはない。したがって、少なくとも一つ ''μ''j > 0 となるものがある、このとき、任意の実数 ''α'' に対して :$\backslash mathbf\; =\; \backslash sum\_^k\; \backslash lambda\_j\; \backslash mathbf\_j-\backslash alpha\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j\; \backslash mathbf\_j\; =\; \backslash sum\_^k\; (\backslash lambda\_j-\backslash alpha\backslash mu\_j)\; \backslash mathbf\_j$ が成り立つ。特に、等号は ''α'' が次のように定義されたときに成り立つ。 :$\backslash alpha:=\backslash min\_\; \backslash left\backslash =\backslash tfrac.$ ここで ''α''>0 であり、1 と ''k'' の間のすべての ''j'' に対して :$\backslash lambda\_j-\backslash alpha\backslash mu\_j\; \backslash geq\; 0$ であることに注意されたい。特に ''α'' の定義から ''λ''i − ''αμ''''i'' = 0 である。したがって :$\backslash mathbf\; =\; \backslash sum\_^k\; (\backslash lambda\_j-\backslash alpha\backslash mu\_j)\; \backslash mathbf\_j$ が成り立つ。但しすべての $\backslash lambda\_j\; -\; \backslash alpha\; \backslash mu\_j$ は非負で、それらの和は 1 で、$\backslash lambda\_i-\backslash alpha\backslash mu\_i=0$ である。言い換えると、''x'' は高々 ''k''-1 個の ''P'' の点の凸結合として表現される。この過程を ''x'' が高々 ''d'' + 1 個の ''P'' の点の凸結合として表現されるまで繰り返せばよい。 またこの他の証明ではヘリーの定理が用いられる。'x''''k'' − ''x''1 は線型従属であるので、ゼロでないものがある実スカラー ''μ''2, ..., ''μ''''k'' に対して :$\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j\; (\backslash mathbf\_j-\backslash mathbf\_1)=\backslash mathbf$ が成り立つ。''μ''1 が :$\backslash mu\_1:=-\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j$ のように定義されるなら、 :$\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j\; \backslash mathbf\_j=\backslash mathbf$ :$\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j=0$ となり、この μ''j'' のすべてがゼロになることはない。したがって、少なくとも一つ ''μ''j > 0 となるものがある、このとき、任意の実数 ''α'' に対して :$\backslash mathbf\; =\; \backslash sum\_^k\; \backslash lambda\_j\; \backslash mathbf\_j-\backslash alpha\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j\; \backslash mathbf\_j\; =\; \backslash sum\_^k\; (\backslash lambda\_j-\backslash alpha\backslash mu\_j)\; \backslash mathbf\_j$ が成り立つ。特に、等号は ''α'' が次のように定義されたときに成り立つ。 :$\backslash alpha:=\backslash min\_\; \backslash left\backslash =\backslash tfrac.$ ここで ''α''>0 であり、1 と ''k'' の間のすべての ''j'' に対して :$\backslash lambda\_j-\backslash alpha\backslash mu\_j\; \backslash geq\; 0$ であることに注意されたい。特に ''α'' の定義から ''λ''i − ''αμ''''i'' = 0 である。したがって :$\backslash mathbf\; =\; \backslash sum\_^k\; (\backslash lambda\_j-\backslash alpha\backslash mu\_j)\; \backslash mathbf\_j$ が成り立つ。但しすべての $\backslash lambda\_j\; -\; \backslash alpha\; \backslash mu\_j$ は非負で、それらの和は 1 で、$\backslash lambda\_i-\backslash alpha\backslash mu\_i=0$ である。言い換えると、''x'' は高々 ''k''-1 個の ''P'' の点の凸結合として表現される。この過程を ''x'' が高々 ''d'' + 1 個の ''P'' の点の凸結合として表現されるまで繰り返せばよい。 またこの他の証明ではヘリーの定理が用いられる。'''k'' − ''x''1 は線型従属であるので、ゼロでないものがある実スカラー ''μ''2, ..., ''μ''''k'' に対して :$\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j\; (\backslash mathbf\_j-\backslash mathbf\_1)=\backslash mathbf$ が成り立つ。''μ''1 が :$\backslash mu\_1:=-\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j$ のように定義されるなら、 :$\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j\; \backslash mathbf\_j=\backslash mathbf$ :$\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j=0$ となり、この μ''j'' のすべてがゼロになることはない。したがって、少なくとも一つ ''μ''j > 0 となるものがある、このとき、任意の実数 ''α'' に対して :$\backslash mathbf\; =\; \backslash sum\_^k\; \backslash lambda\_j\; \backslash mathbf\_j-\backslash alpha\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j\; \backslash mathbf\_j\; =\; \backslash sum\_^k\; (\backslash lambda\_j-\backslash alpha\backslash mu\_j)\; \backslash mathbf\_j$ が成り立つ。特に、等号は ''α'' が次のように定義されたときに成り立つ。 :$\backslash alpha:=\backslash min\_\; \backslash left\backslash =\backslash tfrac.$ ここで ''α''>0 であり、1 と ''k'' の間のすべての ''j'' に対して :$\backslash lambda\_j-\backslash alpha\backslash mu\_j\; \backslash geq\; 0$ であることに注意されたい。特に ''α'' の定義から ''λ''i − ''αμ''''i'' = 0 である。したがって :$\backslash mathbf\; =\; \backslash sum\_^k\; (\backslash lambda\_j-\backslash alpha\backslash mu\_j)\; \backslash mathbf\_j$ が成り立つ。但しすべての $\backslash lambda\_j\; -\; \backslash alpha\; \backslash mu\_j$ は非負で、それらの和は 1 で、$\backslash lambda\_i-\backslash alpha\backslash mu\_i=0$ である。言い換えると、''x'' は高々 ''k''-1 個の ''P'' の点の凸結合として表現される。この過程を ''x'' が高々 ''d'' + 1 個の ''P'' の点の凸結合として表現されるまで繰り返せばよい。 またこの他の証明ではヘリーの定理が用いられる。'x''1 は線型従属であるので、ゼロでないものがある実スカラー ''μ''2, ..., ''μ''''k'' に対して :$\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j\; (\backslash mathbf\_j-\backslash mathbf\_1)=\backslash mathbf$ が成り立つ。''μ''1 が :$\backslash mu\_1:=-\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j$ のように定義されるなら、 :$\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j\; \backslash mathbf\_j=\backslash mathbf$ :$\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j=0$ となり、この μ''j'' のすべてがゼロになることはない。したがって、少なくとも一つ ''μ''j > 0 となるものがある、このとき、任意の実数 ''α'' に対して :$\backslash mathbf\; =\; \backslash sum\_^k\; \backslash lambda\_j\; \backslash mathbf\_j-\backslash alpha\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j\; \backslash mathbf\_j\; =\; \backslash sum\_^k\; (\backslash lambda\_j-\backslash alpha\backslash mu\_j)\; \backslash mathbf\_j$ が成り立つ。特に、等号は ''α'' が次のように定義されたときに成り立つ。 :$\backslash alpha:=\backslash min\_\; \backslash left\backslash =\backslash tfrac.$ ここで ''α''>0 であり、1 と ''k'' の間のすべての ''j'' に対して :$\backslash lambda\_j-\backslash alpha\backslash mu\_j\; \backslash geq\; 0$ であることに注意されたい。特に ''α'' の定義から ''λ''i − ''αμ''''i'' = 0 である。したがって :$\backslash mathbf\; =\; \backslash sum\_^k\; (\backslash lambda\_j-\backslash alpha\backslash mu\_j)\; \backslash mathbf\_j$ が成り立つ。但しすべての $\backslash lambda\_j\; -\; \backslash alpha\; \backslash mu\_j$ は非負で、それらの和は 1 で、$\backslash lambda\_i-\backslash alpha\backslash mu\_i=0$ である。言い換えると、''x'' は高々 ''k''-1 個の ''P'' の点の凸結合として表現される。この過程を ''x'' が高々 ''d'' + 1 個の ''P'' の点の凸結合として表現されるまで繰り返せばよい。 またこの他の証明ではヘリーの定理が用いられる。'1 は線型従属であるので、ゼロでないものがある実スカラー ''μ''2, ..., ''μ''''k'' に対して :$\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j\; (\backslash mathbf\_j-\backslash mathbf\_1)=\backslash mathbf$ が成り立つ。''μ''1 が :$\backslash mu\_1:=-\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j$ のように定義されるなら、 :$\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j\; \backslash mathbf\_j=\backslash mathbf$ :$\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j=0$ となり、この μ''j'' のすべてがゼロになることはない。したがって、少なくとも一つ ''μ''j > 0 となるものがある、このとき、任意の実数 ''α'' に対して :$\backslash mathbf\; =\; \backslash sum\_^k\; \backslash lambda\_j\; \backslash mathbf\_j-\backslash alpha\backslash sum\_^k\; \backslash mu\_j\; \backslash mathbf\_j\; =\; \backslash sum\_^k\; (\backslash lambda\_j-\backslash alpha\backslash mu\_j)\; \backslash mathbf\_j$ が成り立つ。特に、等号は ''α'' が次のように定義されたときに成り立つ。 :$\backslash alpha:=\backslash min\_\; \backslash left\backslash =\backslash tfrac.$ ここで ''α''>0 であり、1 と ''k'' の間のすべての ''j'' に対して :$\backslash lambda\_j-\backslash alpha\backslash mu\_j\; \backslash geq\; 0$ であることに注意されたい。特に ''α'' の定義から ''λ''i − ''αμ''''i'' = 0 である。したがって :$\backslash mathbf\; =\; \backslash sum\_^k\; (\backslash lambda\_j-\backslash alpha\backslash mu\_j)\; \backslash mathbf\_j$ が成り立つ。但しすべての $\backslash lambda\_j\; -\; \backslash alpha\; \backslash mu\_j$ は非負で、それらの和は 1 で、$\backslash lambda\_i-\backslash alpha\backslash mu\_i=0$ である。言い換えると、''x'' は高々 ''k''-1 個の ''P'' の点の凸結合として表現される。この過程を ''x'' が高々 ''d'' + 1 個の ''P'' の点の凸結合として表現されるまで繰り返せばよい。 またこの他の証明ではヘリーの定理が用いられる。'x'' は高々 ''k''-1 個の ''P'' の点の凸結合として表現される。この過程を ''x'' が高々 ''d'' + 1 個の ''P'' の点の凸結合として表現されるまで繰り返せばよい。 またこの他の証明ではヘリーの定理が用いられる。' は高々 ''k''-1 個の ''P'' の点の凸結合として表現される。この過程を ''x'' が高々 ''d'' + 1 個の ''P'' の点の凸結合として表現されるまで繰り返せばよい。 またこの他の証明ではヘリーの定理が用いられる。'x'' が高々 ''d'' + 1 個の ''P'' の点の凸結合として表現されるまで繰り返せばよい。 またこの他の証明ではヘリーの定理が用いられる。' が高々 ''d'' + 1 個の ''P'' の点の凸結合として表現されるまで繰り返せばよい。 またこの他の証明ではヘリーの定理が用いられる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「カラテオドリの定理 (凸包)」の詳細全文を読む スポンサード リンク 翻訳と辞書 : 翻訳のためのインターネットリソース Copyright(C) kotoba.ne.jp 1997-2016. 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